CONJETURA DE COLLATZ

por Leandro Mediavilla

Actualizado 29 de mayo 2019

Explicacion de la conjetura de Collatz, por Eduardo Saenz de Cabezon, por el canal de Youtube DERIVANDO

 

Estas son algunas imagenes captadas de la web, donde podemoa ver lo complejo y los distintos modos de interpretar la Conjetura de Collatz.

 

Conjetura de COLLATZ por Leandro Mediavilla

Comentarios y sugerencias al final de la pagina.

Les comparto algunos patrones que se repiten a lo largo de toda la conjetura.

La conjetura dice que todos los numeros enteros terminan en 1. Es lo mismo que decir, que iniciando desde el numero 1, aplicando la inversa de Collatz, podemos llegar a todos los numeros positivos.  



Imagen 1

Es el desarrollo de la Conjetura de Collatz en la forma clasica de arbol, iniciando desde el numero 1.
Aplicando la inversa de la conjetura de Collatz, vamos avanzando y en cada paso ingresamos el o los numeros que van apareciendo.
Cuando en un paso  hay dos resultados posibles, el numero impar lo ponemos del lado izquierdo de la hoja y el numero par, del lado derecho. Continuamos hasta el paso 16, aplicando la Inversa de Collatz a cada numero que va apareciendo.


Imagen 2

Es el desarrollo de el mismo arbol de la Imagen 1, pero convertido en una tabla ordenada.


Imagen 3

Vamos clasificando la tabla por colores, buscando patrones. 
A los numeros pares, pintamos el fondo de color blanco.
A los numeros impares, pintamos el fondo de color gris.
A las potencias de 2, pintamos el fondo de color celeste.
Las potencias de 2 siempre va a ser el numero mayor de cada paso.


Imagen 4

Se van formando escaleras imaginarias que descienden, cada escalera imaginaria desciende infinitos escalones.
Cada escalera Inicia en un numero Impar X y el siguiente escalon es Igual a X*4+1=
Ejemplo: En el paso 8, la escalera la incia en el Nro 3, y los escalones son 3*4+1=13,  13*4+1=53, etc.

Si tenemos en cuenta solo los numeros impares, arriba de cada escalon de una misma escalera, se encunetra el mismo numero impar.
Si empezamos a descomponer los numeros 3, 13, 53, 213, etc. El proximo numero impar que hay arriba de ellos, va ser para todos los casos, el numero 5.  Esto sucede en cada escalera.


Imagen 5

Clasificamos los numeros impares en 3 grupos.
De colores rojos, amarillos y verdes.
 

Fondo color rojo: Son todos los numeros impares divisibles por 3.
Los numeros que al dividir por 3, de de resto 0. Como el numero 3, 9, 15, 21,etc.
A partir de un numero impar de color rojo, cada vez que  apliquemos la inversa de Collatz, encontraremos en cada paso, numeros pares divisibles por 3. A estos numeros pares devisibles por 3, los coloreamos de color anaranjado para identificarlos. 

Pienso que si descubrimos que orden, algoritmo, comportamiente que siguan los escalones de color rojo,  podremos encontrar el camino a la resolucion de la conjetura.

Fondo color amarillo: Son algunos numeros impares NO divisibles por 3.
Son los numeros que al dividir por 3, de de resto 1. Como el numero 7, 13, 19, 25, 85, 151, etc.
A partir de un numero impar de color amarillo, cada vez que  apliquemos la inversa de Collatz, encontraremos 2 pasos con numeros pares, y al tercer paso aparecera un numero Impar, que puede ser rojo, verde o amarillo.

Fondo color verde: Son algunos numeros impares NO divisibles por 3.
Son los numeros que al dividir por 3, de de resto 2. Como el numero 5, 11, 17, 53, etc.
A partir de un numero impar de color verde, cada vez que  apliquemos la inversa de Collatz, encontraremos 1 solo con un numero par, y en el segundo paso aparecera un numero Impar, que puede ser rojo, verde o amarillo.

Fondo color anaranjado: Son todos los numeros pares divisibles por 3. 
Estos aparecen debajo de los numeros Impares de color rojo y debajo de otro numero anaranjado.

El orden de Colores que van apareciendo en una escalera imaginaria es siclico (Amarillo, verde y Rojo)


Imagen 6

Clasificamos a los bordes de los numero impares en dos grupos, bordes verdes y azules.

Borde azul:  Al primer escalon, que inica una escalera imaginaria.
Pintamos los bordes de color azul, a los numeros impares que, al aplicar (x-1)/4 de como resultado, un numero que NO  sea, un numero  impar entero.

Ej: 3  por que (3-1)/4=0.5 - No es un numero impar entero,
     23 por que (23-1)/4= 5.5  - No es un numero impar entero,
     113 por que (113-1)/4= 28  - No es un numero impar entero,

Borde verde oscuro:  A todos los escalones, que NO inican una escalera imaginaria.
Pintamos los bordes de color verde,a los numeros impares que, al aplicar (x-1)/4 de como resultado, un numero que SEA, un numero  impar entero.

Ej:  5 por que (5-1)/4= 1 - Es un numero impar entero,
     21 por que (21-1)/4= 5  - Es un numero impar entero,
     13 por que (13-1)/4= 3  - Es un numero impar entero.

Al lado de un escalon X de Borde verde oscuro, siempre va a estar a su izquierda X-1 (menos en el numero 5)
Ej: Paso numero 8, numeros 20 y 21 (21 borde verde oscuro),
     paso numero 10, numeros 12 y 13 (13 borde verde oscuro),
     paso numero 16, numeros 140 y 141 (141 borde verde oscuro),


Imagen 7

Es la suma de la imagen5 y la imagen6.



23 Primero Pasos de la conjetura de Collatz,
Click en la img para agrandar.




Numeros impares del 1 al 100 dentro de la conjetura de Collatz,
Click en la img para agrandar.

Es muy interesante ver como se van distribuyendo los numeros impares divisores de 3, que son los que le dan inicio al resto de los numeros impares. Porque recordemos que debajo de un numero divisor de 3, nunca va a aparecer otro numero impar.