CONJETURA DE COLLATZ (3N+1)

Escaleras al infinito. por Leandro Mediavilla
Publicado el 19/09/2018
Links Collatz
www.gaussianos.com/la-conjetura-de-collatz/
collatz2.rssing.com/chan-23607724/all_p3.html
www.la-morsa.blogspot.com/...imposibilidad-de-probar-la-conjetura_7408.html

Esta pagina es para aquellas personas que conozcan la conjetura de Collatz.

Si no conoces la conjetura, aca hay un video de Eduardo Saenz de Cabezon, en el canal de Youtube "Derivando". Donde explica "La Conjetura de Collatz".

Hay varias paginas, videos, graficos, cuadros explicando distintos aspectos la conjetura.


Lo que hice, es plantear la conjetura en un tabla.
A partir de ahi encontre varios patrones, que voy a explicar con los siguientes graficos.

Grafico1 Escaleras al infinito

Estos son los primeros 16 pasos de la conjetura, reprensentados en una tabla.
 

En los datos de las columna de la derecha, no tenemos en cuenta el bucle del paso 4 donde inicia nuevamente en 1, 2, 4, ....


En el paso 16 encontramos un total de 24 numeros, 6 de ellos impares
Hasta el paso 16 hay un total de 103 numeros, 24 de ellos impares.

Grafico2 Escaleras al infinito

Continuando con el Grafico 1, le vamos agregando detalles y descubriendo patrones.

Rellenamos con color GRIS todos los numeros Impares.
Rellenamos con color CELESTE todas las potencia de 2.


Hasta el paso 16 hay un total de 103 numeros,  24 de ellos impares que ahora podemos identificar.
El total de numeros que aparecen en cada paso, es igual al total de numeros impares de toda la Tabla haste ese mismo paso.

EJ:  En el paso 10 encontramos un total de 6 numeros y  un total de 6 numeros impares en toda la tabla hasta el paso 10.
EJ:  En el paso 16 encontramos un total de 24 numeros y  un total de 24 numeros impares entoda la tabla hasta el paso 16.


Viendo los numeros impares, vemos como quedan formadas escaleras grises que desienden hasta el infinito.
y debajo de algunos escalones, aparecen mas escaleras que tambien desienden hasta el infinito.

Las escaleras siempre cumplen el mismo patron, desendiendo de izquierda a derecha hasta el infinito.
Los escalones aparecen cada dos pasos, a medida que vamos bajando en la tabla.
Ej:  Si el escalon con el numero 5 esta en el paso 6,
el siguiente escalon estara en el paso 8 y el siguiente escalon en el paso 10, etc.



Para saber cual es el numero del siguiente escalon decendiente . Aplicamos  X*4+1
EJ:  Si un escalon contiene el numero 5, el siguiente escalon  desendiente es 5*4+1=21,  despues 85 , 341...

Grafico3 Escaleras al infinito

Continuando con el Grafico 2, le vamos agregando detalles y descubriendo patrones.

Contorneamos con color AZUL todos los escalones que  inicien una escalera.
Contorneamos con color VERDE todos los escalones que formen parte de una escalera y NO la inicien


Vemos como los escalones de contorno Azul inician las escaleras, desendiendo por los escalones de contorno Verde hasta el infinito.

Los escalones de contorno Azul, los iniciadores, cumplen la siguiente regla.
Si (x-1)/4 es igual a un numero que NO sea Impar

EJ:3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

Los escalones NO iniciadores, escalones contorno Verde, cumplen la siguiente regla.
Si (x-1)/4 es igual a un numero que SI sea Impar

EJ: 3 5 7 9 11 13 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

Con estos dos ejemplos, podemos ver que hay tres veces mas escaleras que escalones, y sin embargo a cada escalon contorno azul, le corresponden infinitos escalones contorno verdes.
Por este motivo los numeros que llevan los escalones Verdes crece tan abruptamente.
 

Grafico4 Escaleras al infinito

Continuando con el Grafico 3, le vamos agregando detalles y descubriendo patrones.

Pintamos de color VERDE a los Numero Impares que, 2 pasos debajo de el, aparezca otro escalon contorno azul.
Pintamos de color AMARILLO a los Numero Impares que, 3 pasos debajo de el, aparezca otro escalon contorno azul.
Pintamos de color ROJO a los Numero Impares que, debajo de el No se inicia ninguna escalera.
Pintamos de color NARANJA a los Numero Pares que, esten debajo de un escalon ROJO.

Nos queda esta tabla.
Supongamos que la tabla es un juego de Minecraft.
Las celdas Celestes, son el cielo.
Las celdas Blancas, es aire, con caida hacia algun suelo (numero impar).
Los celdas Verdes son 1er tipo de suelo, una vez que bajamos por esta celda, caemos 1 celda hasta tocar suelo.
Los celdas Amarillas es el 2do tipo de suelo, una vez que bajamos por esta celda, caemos 2 celdas hasta tocar suelo.
Los celdas Rojas es el 3er tipo de suelo, una vez que bajamos por esta celda, caemos al avismo (celdas naranaja), debajo de ellas no existe mas suelo.
Las celdas naranjas, es la caida infinita.
y jugando a Minecraft minando, y bajando cada vez mas.
Podemos pasar por todos los numeros enteros.

Los Numero de color Verde son los numero que Al dividir por 3 sobre 2.
( X mod 3=2)
Ej: 5 - 11 - 17 - 23 - 29 - 35 - 41 - 47 - 53 

Los Numero de color Amarillo son los numero que Al dividir por 3 sobre 1.
(X mod 3=1)
Ej: 1 - 7 - 13 - 19 - 25 - 31 - 37 - 43 - 49 - 55

Los Numero de color Rojo son los numero que Al dividir por 3 sobre 0.
(X mod 3=0)
Ej: 3 - 9 - 15 - 21 - 27 - 33 - 39 - 45 - 51

Los Numero Pares de color Naranja  son los numero que Al dividir por 3 sobre 0.
(X mod 3=0)

El orden del color de los escalones van apareciendo de forma ciclica: Verde, Rojo, Amarillo, Verde, Rojo, Amarillo, etc.

Numeros Consecutivos

Dos numeros consecutivos, escalon Verde 
Siempre que haya un numero impar  X en un escalon Contorno Verde,  encontramos en su izquierda a X-1


Dos numeros consecutivos, escalon Azul.
Por lo menos en estos primeros 16 pasos.
Cuando hay un  numero impar  X en un escalon Contorno AZUL y a su izquierda NO haya una celda color naranja (Un numero par que al dividir por 3 el resto sea 0),  encontramos en ese mismo paso a X-1



Los unicos numeros Impares X que no tienen a su X-1 en el mismo numero de paso son el 17, 113, 11 y 75
(Si seguimos desarrolando el bucle de la izquierda, al lado del numero 3 encontramos al numero2)

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